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2009.04.07

数論の撃沈の記録

数論の撃沈の記録。
加藤 和也, 斎藤 毅, 黒川 信重『数論〈1〉Fermatの夢と類体論』

序の3ページの{p進数}⊃{有理数}⊂{実数}の拡大の意味が、明らかになる過程だな。10ページ、18世紀最大の数学者、Eulerは、Fermatの命題(3以上のnに対して、すべての自然数は、n個以下のn角数の和として書ける)を知って感動、その証明を付けた。59ページの注意2.7 Hilbertによると、平方剰余の相互法則は、「実数の光」と「素数の光」全体の調和を表している。
72ページ、整数を色々なnについて、mod p^nで見て行くと、Qp(有理数環のmod p^nによる完備化)に到達する。p^mZpによる剰余群の極限か(いい加減)、p進絶対値の定義、p進展開によるQpの導入。
88ページのリーマンのζ関数(この本では、関数以上の存在を感じているとして、ζとだけ呼ぶ)の3つの不思議。ライプニッツやオイラー(自然数の2乗の逆数列の無限和がπ自乗/6)の公式に見られる逆数列の和が定数として求まる事、つまり、ζの「s=整数」での値=有理数×「円周率の羃乗やlog(1+ルート2)に似たもの」とか。第2の不思議は、ζの「s=整数」での値が、元の定義から想像出来ない、p進数の世界と関わりを持つ。p進連続性を持つとか。ζの本当の故郷が、実数の世界とp進数の世界の両者の上に存在する、我々のまだ知らぬ世界である事が感じられる。
第3の不思議は、微妙な数論的な意味を持つ、ライプニッツの公式はZ[i]が素元分解整域である事を示すとか、ディリクレの類数公式とか。
92ページの注意3.12 ζの3、5、7、9の素数での値は、計算されていない、ζ(3)が無理数ということが1978年にAperyによって証明、他も無理数だろう、3以上の基数のとき、偶数とは違って有理数や円周率から四則演算で求まるものではないだろうという予想だけがある。証明はまだ。
円分体(QにN乗根を付加して拡大)、代数体でのpの分解の仕方等で調べる。
203ページ。pがLにおいて完全分解する⇔Kの拡大LがKpには何の拡大ももたらさない。Kpから眺めた風景という事。
253ページ。ζ関数の羃乗表示と、級数和表示。局所と大域を繋ぐ表示。ガンマ関数の積分表示。自然数全体についての和=素数全体についての積。素数全体と「零点(と極)全体」
ここでギブアップ。

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